Cấp số nhân là gì?

Tỷ số này được gọi là công bội của cấp số nhân (ở dãy số này công bội là 2). Các phần tử của cấp số nhân còn được gọi là các số hạng. Nếu a là số hạng thứ nhất của cấp số nhân và b là công bội thì các số hạng tiếp theo lần lượt là: a × b, a × b^2, a × b^3,... Như thế, nếu n là một số tự nhiên khác 0 thì số hạng thứ n của cấp số nhân là a × b^(n - 1). Bởi vậy sự thay đổi của cấp số nhân phụ thuộc vào số hạng thứ nhất và công bội. Một tính chất đặc trưng của cấp số nhân là bình phương của một số hạng trong dãy số (tức tích của số đó với chính nó) bằng tích của hai số xung quanh nó. Chẳng hạn, trong dãy số trên thì 6 × 6 = 3 × 12, 12 × 12 = 6 × 24...

Một điều thú vị là các khổ giấy thông dụng theo chuẩn quốc tế EN iso 216 do Viện tiêu chuẩn Đức ban hành từ năm 1922 (theo hình vẽ) có chiều dài các cạnh (đơn vị là mm) theo thứ tự là 1189, 841, 594, 420, 297, 210, 148, 105, 74, 52, 37, 26, 18, 13, 9... thì tỷ lệ của chiều dài và chiều rộng của mỗi hình chữ nhật đem nhân với chính nó (tức bình phương) luôn xấp xỉ bằng 2. Nghĩa là dãy số trên là cấp số nhân. Chẳng hạn, với khổ giấy A4 là 29,7 × 21 cm ta có kết quả của 29,7 × 29,7 : 21 × 21 làm tròn là 2,00020.

Tìm hiểu về cấp số nhân, ta thường tìm cách cộng nhiều số liên tiếp. Chẳng hạn, nếu đem chia 1 cho 3 thì ta được số vô hạn 0,333... Đem số này viết thành tổng của các số là 0,3 + 0,03 + 0,003 +... Ta thấy đây là một cấp số nhân với số hạng thứ nhất là 0,3 và công bội là 0,1 (như 0,3 × 0,1 = 0,03; 0,03 × 0,1 = 0,003...).

Để tìm hiểu thêm về cấp số nhân, ta cùng làm vài bài toán sau.
Bài toán 1. Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất là 3 và công bội là 2.

a) Viết 6 số hạng đầu tiên.
b) Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên.
c) Viết công thức tổng quát cho số hạng thứ n.
d) Tính tổng S của 100 số hạng đầu tiên.

Bài làm. a) 3, 6, 12, 24, 48, 96.
b) 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189.
c) 3 × 2^(n - 1).
d) S = 3 + 6 + 12 +... + 3 × 2^99. 2S = 6 + 12 + 24 +... + 3 × 2^100. 2S - S = 3 × 2^100 - 3. Từ đó S = 3 × (2^100 - 1).

Bài toán 2. Một cấp số nhân có số hạng thứ hai và thứ năm thứ tự là 10, 1250.
a) Tìm số hạng thứ nhất.
b) Viết 6 số hạng đầu tiên.
Bài làm. a) Gọi r là công bội của cấp số nhân. Tỷ số của số thứ năm với số thứ hai là r^(5 - 2) = r^3 hay r^3 = 1250 : 10 = 125 = 5^3. Từ đó r = 5. Số thứ nhất là 10 : 5 = 2.
b) 2, 10, 50, 250, 1250, 6250.

Bài toán 3. Tìm một cấp số nhân có 4 số hạng biết tổng của hai số hạng đầu bằng 15 và tổng hai số hạng cuối bằng 60.

Bài làm. Gọi r là công bội của cấp số nhân. Số hạng thứ ba và số hạng thứ tư tương ứng gấp số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai là r^2.
Từ đó r^2 = 60 : 15 = 4. Vậy r = 2.
Gọi a là số hạng thứ nhất. Số hạng thứ hai là 2a. Từ đó a + 2a = 15 hay 3a = 15. Từ đó a = 5.
Cấp số nhân là 5, 10, 20, 40.
Bài tập kỳ này. Ở một hồ sen thì cứ sau một ngày mỗi một lá sen sẽ sinh ra 1 lá sen mới. Biết ban đầu hồ có 7 lá sen, hỏi sau 5 ngày thì có bao nhiêu lá sen (giả thiết khi đó chưa lá sen nào bị tàn). Bài giải gửi về Hoàng Trọng Hảo, tạp chí Toán Tuổi thơ, 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội. Ngoài phong bì ghi dự thi “Học mà chơi - chơi mà học” của báo Hànộimới.

Giải bài kỳ trước. (Cấp số cộng) Bốn số là 9, 14, 19, 24. Phần thưởng 50.000 đồng/ người được trao cho các bạn Khúc Khánh Quân, 7H2, THCS Trưng Vương; Phạm Việt Hà, lớp 8, trường Hà Nội - Amsterdam.