Toán học - học mà chơi

Giai thừa với bài toán tổ hợp

Chủ Nhật 07:25 19/08/2012
(HNM) - Số đếm được hình thành từ xa xưa trong lịch sử. Khi toán học phát triển, một số nhà toán học khi làm toán lại quan tâm đến tích của những số đếm đầu tiên như 1 x 2, 1 x 2 x 3... Người ta gọi tích của n số đếm đầu tiên là n giai thừa, kí hiệu là n!. Chẳng hạn, 2! = 1 x 2 = 2, 3! = 1 x 2 x 3 = 6.

Những nhà toán học nổi tiếng như Legendre, Gauss, James Stirling, Vandermonde... sử dụng cách viết 1 x 2 x 3 x 4... trong các định lí hay công thức toán học của mình. Người đầu tiên dùng kí hiệu n! là nhà toán học người Pháp Christian Kramp (1760-1826) vào năm 1808. Ông tốt nghiệp ngành y khoa nhưng lại quan tâm nhiều đến toán học. Ông đã viết một số sách về y khoa và đến năm 1793 thì xuất bản sách viết về tinh thể học. Năm 1794, Kramp trở thành giảng viên dạy toán, lý, hóa. Năm 1809, ông được bổ nhiệm làm giáo sư. 8 năm sau, ông được bầu vào Viện Hàn lâm khoa học Pháp. Việc đưa kí hiệu n! vào giúp cho mọi người giảm đáng kể thời gian công sức, góp phần đáng kể vào sự phát triển của toán học.

Dựa vào khái niệm giai thừa, ta thấy (n + 1)! = (n + 1) x n!. Chẳng hạn với n = 4 thì 5! = 5 x 4!. Thật vậy, 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5, còn 5 x 4! = 5 x (1 x 2 x 3 x 4). Do đó 5! = 5 x 4!. Người ta gọi (n + 1)! = (n + 1) x n! là một công thức truy hồi. Muốn tính giai thừa của một số, ta tính theo giai thừa của số bé hơn. Biết 4! = 24, muốn tính 6!, ta có thể làm như sau: 5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120, 6! = 6 x 5! = 6 x 120 = 720.

Công thức giai thừa xuất hiện nhiều trong toán như hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, lý thuyết số, giới hạn, số nguyên tố hay những khai triển toán học theo các chuỗi số... Chẳng hạn số cách xếp hàng ngang 3 bạn để chụp ảnh gọi là một hoán vị của 3, chính là 3! = 6. Ví dụ với 3 bạn A, B, C thì 6 cách xếp hàng đó là ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Với ngôi sao 5 cánh thì số đoạn thẳng nối 2 điểm được gọi là một tổ hợp 2 của 5. Công thức tính là 5! : (2! x (5 - 2)!) hay 5! : (2! x 3!) = 120 : (2 x 6) = 120 : 12 = 10. Em hãy vẽ thử xem nhé. Ở một số loại máy tính cầm tay, người ta viết phím nCk để chỉ tổ hợp k của n. Với bài toán ngôi sao này thì đó là 5C2. Ta có thể tính 5C2 theo cách liệt kê: Chọn 5 điểm A, B, C, D, E và đếm số đoạn thẳng là AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Ta vẫn được đáp số là 10 đoạn thẳng.

Bây giờ ta giải thích tại sao phải có kí hiệu 0! và 1!. Theo khái niệm ở trên thì n! chỉ tích của n số đếm đầu tiên. Theo công thức truy hồi thì 2! = 2 x 1! hay 2 = 2 x 1!, từ đó 1! = 1. Đến bài toán tổ hợp, chẳng hạn tính số đoạn thẳng nối 2 điểm. Đáp số rõ ràng là 1. Tức là 2C2 = 1 hay 2! : (2! x (2 - 2)!) = 1. Từ đó 2 : (2 x 0!) = 1, 2 x 0! = 2, 0! = 1. Vậy để đầy đủ các khái niệm giai thừa cho các số tự nhiên, người ta quy ước 0! = 1! = 1.

Kết quả kỳ trước. Trong hình vuông 3 x 3 có tất cả 36 hình chữ nhật. Phần thưởng trao cho các bạn: Phương Minh Tuấn (7B, THCS Tân Mai); Trần Nhật Huy (7A7, THCS Ngô Sĩ Liên); Phạm Trần Duy Hưng, Phạm Trần Quang Nguyên (P506, C2, TT Quỳnh Mai).

Câu hỏi kỳ này: Nối các đỉnh của hình vuông được 6 đoạn thẳng. Theo em thì dùng công thức nào để tính? Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

Ý kiến bạn đọc: 1
Loading.....
Gửi bình luận của bạn



Tin tức mới hơn

Tin tức khác

Đừng thêm những vệt hằn lún…

(HNM) - Hiện tượng hằn lún vệt bánh xe trên mặt đường xảy ra do cả nguyên nhân khách quan và chủ quan, nhưng vừa khai thác trong thời gian ngắn đã xuất hiện hằn lún thì yếu tố chủ quan nhiều hơn.

Sự kiện chính trị có ý nghĩa quan trọng nhìn từ các quận, huyện

(HNM) - Hôm nay, Thạch Thất chính thức khai mạc Đại hội Đảng bộ huyện lần thứ XXIII. Đây là Đảng bộ cấp trên cơ sở đầu tiên ở Hà Nội tổ chức đại hội và là một trong 4 đơn vị được Thành ủy chọn tổ chức đại hội điểm. Ngay sau Đại hội Đảng bộ huyện Thạch Thất, quận Long Biên cũng sẽ tiến hành đại hội Đảng bộ

Đại hội của Đảng, bàn việc của Dân

(HNM) - Là đại hội của Đảng nhưng để bàn công việc của dân và lựa chọn ra những con người có đủ năng lực, phẩm chất thực thi việc Đảng, việc dân. Ngắn gọn, dễ hiểu, tinh thần đó thấm sâu trong đội ngũ cấp ủy, cán bộ, đảng viên của quận Hoàn Kiếm trong quá trình chuẩn bị, tổ chức đại hội Đảng cấp cơ sở nhiệm kỳ 2010-2015.

Ông sửa xe tốt bụng

(HNM) - Chiều 14-6, trên đoạn đường từ xã Việt Hùng (huyện Đông Anh) trở về nhà, khi đi qua làng Lại Hoàng (xã Yên Thường, huyện Gia Lâm) thì bánh sau chiếc xe máy của anh Hiếu bỗng hết hơi. Rẽ vào quán sửa xe cạnh đó thì được biết, săm bánh sau chiếc xe đã bị vật nhọn đâm vào, rách một mảng lớn,