Toán học - học mà chơi

Giai thừa với bài toán tổ hợp

Chủ Nhật 07:25 19/08/2012
(HNM) - Số đếm được hình thành từ xa xưa trong lịch sử. Khi toán học phát triển, một số nhà toán học khi làm toán lại quan tâm đến tích của những số đếm đầu tiên như 1 x 2, 1 x 2 x 3... Người ta gọi tích của n số đếm đầu tiên là n giai thừa, kí hiệu là n!. Chẳng hạn, 2! = 1 x 2 = 2, 3! = 1 x 2 x 3 = 6.

Những nhà toán học nổi tiếng như Legendre, Gauss, James Stirling, Vandermonde... sử dụng cách viết 1 x 2 x 3 x 4... trong các định lí hay công thức toán học của mình. Người đầu tiên dùng kí hiệu n! là nhà toán học người Pháp Christian Kramp (1760-1826) vào năm 1808. Ông tốt nghiệp ngành y khoa nhưng lại quan tâm nhiều đến toán học. Ông đã viết một số sách về y khoa và đến năm 1793 thì xuất bản sách viết về tinh thể học. Năm 1794, Kramp trở thành giảng viên dạy toán, lý, hóa. Năm 1809, ông được bổ nhiệm làm giáo sư. 8 năm sau, ông được bầu vào Viện Hàn lâm khoa học Pháp. Việc đưa kí hiệu n! vào giúp cho mọi người giảm đáng kể thời gian công sức, góp phần đáng kể vào sự phát triển của toán học.

Dựa vào khái niệm giai thừa, ta thấy (n + 1)! = (n + 1) x n!. Chẳng hạn với n = 4 thì 5! = 5 x 4!. Thật vậy, 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5, còn 5 x 4! = 5 x (1 x 2 x 3 x 4). Do đó 5! = 5 x 4!. Người ta gọi (n + 1)! = (n + 1) x n! là một công thức truy hồi. Muốn tính giai thừa của một số, ta tính theo giai thừa của số bé hơn. Biết 4! = 24, muốn tính 6!, ta có thể làm như sau: 5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120, 6! = 6 x 5! = 6 x 120 = 720.

Công thức giai thừa xuất hiện nhiều trong toán như hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, lý thuyết số, giới hạn, số nguyên tố hay những khai triển toán học theo các chuỗi số... Chẳng hạn số cách xếp hàng ngang 3 bạn để chụp ảnh gọi là một hoán vị của 3, chính là 3! = 6. Ví dụ với 3 bạn A, B, C thì 6 cách xếp hàng đó là ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Với ngôi sao 5 cánh thì số đoạn thẳng nối 2 điểm được gọi là một tổ hợp 2 của 5. Công thức tính là 5! : (2! x (5 - 2)!) hay 5! : (2! x 3!) = 120 : (2 x 6) = 120 : 12 = 10. Em hãy vẽ thử xem nhé. Ở một số loại máy tính cầm tay, người ta viết phím nCk để chỉ tổ hợp k của n. Với bài toán ngôi sao này thì đó là 5C2. Ta có thể tính 5C2 theo cách liệt kê: Chọn 5 điểm A, B, C, D, E và đếm số đoạn thẳng là AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Ta vẫn được đáp số là 10 đoạn thẳng.

Bây giờ ta giải thích tại sao phải có kí hiệu 0! và 1!. Theo khái niệm ở trên thì n! chỉ tích của n số đếm đầu tiên. Theo công thức truy hồi thì 2! = 2 x 1! hay 2 = 2 x 1!, từ đó 1! = 1. Đến bài toán tổ hợp, chẳng hạn tính số đoạn thẳng nối 2 điểm. Đáp số rõ ràng là 1. Tức là 2C2 = 1 hay 2! : (2! x (2 - 2)!) = 1. Từ đó 2 : (2 x 0!) = 1, 2 x 0! = 2, 0! = 1. Vậy để đầy đủ các khái niệm giai thừa cho các số tự nhiên, người ta quy ước 0! = 1! = 1.

Kết quả kỳ trước. Trong hình vuông 3 x 3 có tất cả 36 hình chữ nhật. Phần thưởng trao cho các bạn: Phương Minh Tuấn (7B, THCS Tân Mai); Trần Nhật Huy (7A7, THCS Ngô Sĩ Liên); Phạm Trần Duy Hưng, Phạm Trần Quang Nguyên (P506, C2, TT Quỳnh Mai).

Câu hỏi kỳ này: Nối các đỉnh của hình vuông được 6 đoạn thẳng. Theo em thì dùng công thức nào để tính? Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.
Ý kiến bạn đọc: 1
Loading.....
Gửi bình luận của bạn



Tin tức mới hơn

Tin tức khác

Bản tin phát thanh

Bản tin phát thanh ngày 24-4

Lỗi không chỉ ở cân

(HNM) - Cả nước đã triển khai "cuộc chiến" chống xe quá tải được gần một tháng. Xin không bàn về cái được mà nói nhiều về cái chưa được để cùng nghiêm túc nhìn nhận, đánh giá rút kinh nghiệm, để không chỉ người tham gia giao thông mà cả cơ sở hạ tầng bớt phải đối mặt với "hung thần".

Xin đừng bẻ cong dư luận!

(HNM) - Từ máy tính nối internet, bằng công cụ tìm kiếm Google gõ mấy chữ "Đường Trường Chinh bị bẻ cong", lập tức có tới hàng nghìn kết quả với hàng trăm bài viết và hình ảnh được đăng tải trên các trang mạng, trong đó nhiều bài copy lại của nhau mà không cần kiểm chứng.

Phân cấp quản lý di tích nhưng không “khoán trắng”

(HNM) - Chỉ trong thời gian ngắn từ cuối năm 2013 đến nay, trên địa bàn thành phố Hà Nội đã xảy ra nhiều vấn đề liên quan di tích, gây không ít bức xúc trong dư luận xã hội... Các cơ quan chức năng sẽ làm gì để khắc phục tình trạng trên?

Tình người Điện Biên

(HNM) - Ông Nguyễn Xuân Khánh tham gia đoàn các nhà văn Hà Nội lên thăm các di tích lịch sử ở tỉnh Điện Biên. Sáng ngày 7-4, trước khi về Hà Nội, ông đến chợ nông sản gần khách sạn Nậm Rốm để mua quà về cho con cháu. Ông đã dừng lại mua đào của một phụ nữ người Thái đang địu con sau lưng.