Toán học - học mà chơi

Giai thừa với bài toán tổ hợp

Chủ Nhật 07:25 19/08/2012
(HNM) - Số đếm được hình thành từ xa xưa trong lịch sử. Khi toán học phát triển, một số nhà toán học khi làm toán lại quan tâm đến tích của những số đếm đầu tiên như 1 x 2, 1 x 2 x 3... Người ta gọi tích của n số đếm đầu tiên là n giai thừa, kí hiệu là n!. Chẳng hạn, 2! = 1 x 2 = 2, 3! = 1 x 2 x 3 = 6.

Những nhà toán học nổi tiếng như Legendre, Gauss, James Stirling, Vandermonde... sử dụng cách viết 1 x 2 x 3 x 4... trong các định lí hay công thức toán học của mình. Người đầu tiên dùng kí hiệu n! là nhà toán học người Pháp Christian Kramp (1760-1826) vào năm 1808. Ông tốt nghiệp ngành y khoa nhưng lại quan tâm nhiều đến toán học. Ông đã viết một số sách về y khoa và đến năm 1793 thì xuất bản sách viết về tinh thể học. Năm 1794, Kramp trở thành giảng viên dạy toán, lý, hóa. Năm 1809, ông được bổ nhiệm làm giáo sư. 8 năm sau, ông được bầu vào Viện Hàn lâm khoa học Pháp. Việc đưa kí hiệu n! vào giúp cho mọi người giảm đáng kể thời gian công sức, góp phần đáng kể vào sự phát triển của toán học.

Dựa vào khái niệm giai thừa, ta thấy (n + 1)! = (n + 1) x n!. Chẳng hạn với n = 4 thì 5! = 5 x 4!. Thật vậy, 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5, còn 5 x 4! = 5 x (1 x 2 x 3 x 4). Do đó 5! = 5 x 4!. Người ta gọi (n + 1)! = (n + 1) x n! là một công thức truy hồi. Muốn tính giai thừa của một số, ta tính theo giai thừa của số bé hơn. Biết 4! = 24, muốn tính 6!, ta có thể làm như sau: 5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120, 6! = 6 x 5! = 6 x 120 = 720.

Công thức giai thừa xuất hiện nhiều trong toán như hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, lý thuyết số, giới hạn, số nguyên tố hay những khai triển toán học theo các chuỗi số... Chẳng hạn số cách xếp hàng ngang 3 bạn để chụp ảnh gọi là một hoán vị của 3, chính là 3! = 6. Ví dụ với 3 bạn A, B, C thì 6 cách xếp hàng đó là ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Với ngôi sao 5 cánh thì số đoạn thẳng nối 2 điểm được gọi là một tổ hợp 2 của 5. Công thức tính là 5! : (2! x (5 - 2)!) hay 5! : (2! x 3!) = 120 : (2 x 6) = 120 : 12 = 10. Em hãy vẽ thử xem nhé. Ở một số loại máy tính cầm tay, người ta viết phím nCk để chỉ tổ hợp k của n. Với bài toán ngôi sao này thì đó là 5C2. Ta có thể tính 5C2 theo cách liệt kê: Chọn 5 điểm A, B, C, D, E và đếm số đoạn thẳng là AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Ta vẫn được đáp số là 10 đoạn thẳng.

Bây giờ ta giải thích tại sao phải có kí hiệu 0! và 1!. Theo khái niệm ở trên thì n! chỉ tích của n số đếm đầu tiên. Theo công thức truy hồi thì 2! = 2 x 1! hay 2 = 2 x 1!, từ đó 1! = 1. Đến bài toán tổ hợp, chẳng hạn tính số đoạn thẳng nối 2 điểm. Đáp số rõ ràng là 1. Tức là 2C2 = 1 hay 2! : (2! x (2 - 2)!) = 1. Từ đó 2 : (2 x 0!) = 1, 2 x 0! = 2, 0! = 1. Vậy để đầy đủ các khái niệm giai thừa cho các số tự nhiên, người ta quy ước 0! = 1! = 1.

Kết quả kỳ trước. Trong hình vuông 3 x 3 có tất cả 36 hình chữ nhật. Phần thưởng trao cho các bạn: Phương Minh Tuấn (7B, THCS Tân Mai); Trần Nhật Huy (7A7, THCS Ngô Sĩ Liên); Phạm Trần Duy Hưng, Phạm Trần Quang Nguyên (P506, C2, TT Quỳnh Mai).

Câu hỏi kỳ này: Nối các đỉnh của hình vuông được 6 đoạn thẳng. Theo em thì dùng công thức nào để tính? Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

Ý kiến bạn đọc: 1
Loading.....
Gửi bình luận của bạn



Tin tức mới hơn

Tin tức khác

Vì sao Cánh diều vàng bị ghẻ lạnh?

(HNM) - Mấy ngày gần đây, những câu chuyện xung quanh giải Cánh diều vàng lại hâm nóng nhiều trang báo mạng. Theo nghệ sĩ Quyền Linh (đạo diễn chương trình Cánh diều vàng), cho đến thời điểm họp báo (ngày 2-3), vẫn chưa có nghệ sĩ nào nhận lời tham dự lễ trao giải...

Những hành vi phản văn hóa đang phá vỡ tín ngưỡng dân gian và làm biến chất lễ hội

(HNM) - Cùng với tiếng trống khai hội vào Xuân rộn rã khắp nơi, thông tin về lễ hội và các vấn đề liên quan đến lễ hội cũng tràn ngập các phương tiện truyền thông. Bên cạnh những câu chuyện "luôn nóng" trong mùa lễ hội như vấn nạn mê tín dị đoan, mua thần bán thánh, lợi dụng lễ hội để "làm tiền"... tiếp tục xuất hiện nhiều hành vi phản văn hóa như ẩu đả tranh giành lộc thánh, mượn uy danh thần linh, phá hoại tài sản...

Đổi mới vì sự bình yên của thành phố

(HNM) - Là địa bàn cửa ngõ trung tâm thành phố, thời gian qua quận Cầu Giấy có bước chuyển mạnh mẽ trong quá trình đô thị hóa, tuy nhiên bên cạnh đó là những nét đặc thù phức tạp về tình hình an ninh trật tự.

Cầu vượt có, sao không đi?

(HNM) - Khoảng 8h ngày 28-2, khi chị Vân (ở phường Cống Vị, quận Ba Đình) đi đến gần cầu vượt dành cho người đi bộ thì gặp một số "nam thanh nữ tú" vừa dắt tay nhau vừa cười đùa qua đường. Do bất ngờ, phải phanh gấp nên xe đổ.