Toán học – học mà chơi

Số hoàn hảo là gì?

Chủ Nhật 06:51 02/06/2013

Trong lịch sử phát triển của toán học nói chung và ngành số học nói riêng thì số hoàn hảo có một quá trình phát triển từ hơn 2000 năm trước. Khởi đầu từ nền văn minh Hy Lạp, với trường phái Pythagore, khoảng hơn 500 năm trước công nguyên, đến hiện tại.

Trước hết, chúng ta cùng tìm hiểu về số hoàn hảo. Cho a và b là hai số đếm, nếu a chia hết cho b thì b được gọi là ước số của a. Chẳng hạn số 12 có các ước số là 1, 2, 3, 4, 6 và 12. Trong các ước số của a thì loại trừ a là ước số lớn nhất của a, ta gọi các ước số khác nhỏ hơn là ước số thực sự của a. Nếu tổng các ước số thực sự của a cũng bằng a thì ta gọi a là số hoàn hảo. Chẳng hạn số 6 có các ước số thực sự là 1, 2 và 3. Lại có 1 + 2 + 3 = 6 thì 6 là số hoàn hảo. Một thí dụ khác về số hoàn hảo là số 28. Số này có các ước số thực sự là 1, 2, 4, 7, 14 với 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Thời cổ đại, người ta đã biết đến 4 số hoàn hảo nhỏ nhất là 6, 28 (đã nói ở trên) và 496, 8128, với 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 và 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064.

Khoảng 300 năm trước công nguyên, những ghi chép đầu tiên về số hoàn hảo được thể hiện trong sách của nhà toán học người Hy Lạp Euclid. Ông đã chỉ ra một cách để tìm ra số hoàn hảo tương tự như 4 số trên: Viết liên tục các số nhân đôi liên tiếp là 1, 2, 4... rồi cộng kết quả lại. Nếu tổng này là một số nguyên tố (là số đếm khác 1 chỉ chia hết cho 1 và chính nó, như những số 2, 3, 5, 7, 11...) thì nhân tổng với số cuối cùng thì được số hoàn hảo: (1 + 2) x 2 = 6, (1 + 2 + 4) x 4 = 28, (1 + 2 + 4 + 8 + 16) x 16 = 496. Dưới ký hiệu ngày nay thì tổng trên bằng 2^p - 1 (kí kiệu 2^p chỉ tích của p số 2 nhân với nhau) và số cuối cùng là 2^(p - 1). Ví dụ 496 = 31 x 16 = (2^5 - 1) x 2^4.

Trải qua hơn 2000 năm kể từ đó, chưa ai tìm ra một số hoàn hảo nào khác với cách chỉ ra như trên của Euclid. Hàng trăm nhà toán học đã thử tìm theo những hướng khác nhau nhưng đều chưa có kết quả. Đến thế kỷ thứ XV, số hoàn hảo thứ 5 mới được tìm ra. Thế kỷ XVI, người ta dự đoán mọi số hoàn hảo đều có chữ số hàng đơn vị là 6 hoặc 8. Một hướng khác là đi tìm số hoàn hảo lẻ cũng chưa có kết quả (những số hoàn hảo theo cách của Euclid đều chẵn). Nhà toán học Fermat thế kỷ XVII đã tìm hiểu về số hoàn hảo, kết quả là ông cho ra đời định lý mà ngày nay mang tên ông: Định lý nhỏ Fermat. Cũng thời gian đó, nhà toán học Mersenne tập trung đi tìm những số nguyên tố p thỏa mãn 2^p - 1 là một số nguyên tố, sau này người ta gọi đây là những số nguyên tố Mersenne.

Thế kỷ XVIII, nhà toán học Euler đã chứng minh được mọi số hoàn hảo chẵn thì đều có dạng như Euclid đã chỉ ra.

Năm 1911, số hoàn hảo thứ 10 được tìm ra, cũng là số cuối cùng được tính toán bằng tay, một nỗ lực phi thường của những nhà toán học yêu mến số hoàn hảo.

Ngày nay, dưới sự trợ giúp của máy tính với tốc độ tính toán lớn, số hoàn hảo vẫn tiếp tục được tìm ra. Tuy vậy, khi p càng lớn thì số phép kiểm tra cũng tăng rất nhanh. Ba số hoàn hảo gần đây nhất được tìm ra (theo thứ tự số p tăng dần) là số thứ 46, 47, 48, với những năm là 2009, 2008 và 2013. Số hoàn hảo vẫn đang được khám phá và có lẽ còn xa mới đi đến hồi kết.

Kỳ này. Em có biết tên nhà toán học tìm ra số hoàn hảo thứ 48 không. Câu trả lời gửi về chuyên mục "Toán học, học mà chơi", Tòa soạn Báo Hànộimới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.


Ý kiến bạn đọc: 0
Loading.....
Gửi bình luận của bạn



Tin tức mới hơn

Tin tức khác

Bản tin phát thanh

Bản tin phát thanh ngày 23-10

Nhìn thẳng vào sự thật

(HNM) - Sau gần 30 năm đổi mới, thời điểm hiện nay được xem là một trong những giai đoạn khó khăn của đất nước. Câu chuyện suy thoái kinh tế, nợ công, phát triển "nóng", tính cục bộ địa phương... và thiếu tầm nhìn chiến lược đang để lại nhiều hệ lụy.

Khí nhạc, thanh nhạc và vấn đề “màu cờ sắc áo”

(HNM) - Nhiều người thích nhận xét về hiện trạng đời sống âm nhạc Việt Nam của nhạc sĩ Nguyễn Thị Minh Châu, một cây bút "chăm chỉ" trong địa hạt lý luận phê bình âm nhạc đích thực vốn không có sự sôi động như cần phải có, đặc biệt là về khí nhạc.

Trách nhiệm của chính quyền là phục vụ người dân

(HNM) - Những ngày qua, nhiều người dân ở phường Bến Nghé, quận 1, TP Hồ Chí Minh bất ngờ khi nhận được thư chúc mừng hoặc chia buồn của Chủ tịch phường khi làm giấy đăng ký kết hôn, khai sinh, báo tử.

Đúng địa chỉ vẫn thất lạc

(HNM) - Ngày 1-9-2014, ông Lê An từ một huyện nghèo miền núi Phù Yên, tỉnh Sơn La gửi thư cho cậu em bên ngoại là Nguyễn Duy Khang ở số nhà 68 tổ 27, phường Hoàng Văn Thụ, quận Hoàng Mai, Hà Nội.